المتغيرات العشوائية والتوزيعات الاحتمالية 

المتغيرات العشوائية والتوزيعات الاحتمالية بأنواعها التي سنتعرف عليها في هذه المقالة تعتبر مهمة جدا للحصول على القيم العديدة لدراسة علمية محددة، فإن أهم ميزات المتغيرات العشوائية أنها قابلة للعد، فيما يلي سنوضح ذلك. 

 ما هو مفهوم المتغير العشوائي؟

- يعرف المتغير العشوائي بأنه المتغير المجهول القيمة، وتستخدم هذه المتغيرات بشكل كبير في كل من علم الإحصاء وعلم الاحتمالات.

- يأخذ المتغير العشوائي غالبا قيم مختلفة ضمن مجال مستمر، حيث يعتبر هذا المتغير قابل للقياس، حيث يرمز لقيمه بأحرف معينة، إلا أنه غالبا ما يكون أرقام وقيم عددية مختلفة.

- وتعتبر المتغيرات العشوائية مختلفة تماما عن المتغيرات الجبرية، التي يمكن حسابها من المعادلات الرياضية بشكل مباشر.

- تعرف المتغيرات العشوائية أيضا، أنها المتغيرات التي تستخدم عند دراسة الظواهر العشوائية وكمثال بسيط على الظواهر العشوائية" رمي حجر النرد" حيث النتائج العددية لهذه الظواهر يعبر عنها بالمتغير العشوائي.

 ما هي أنواع المتغيرات العشوائية؟

تتألف المتغيرات العشوائية من نوعين وهما:

1- النوع الأول: المتغيرات العشوائية المنفصلة:

- ونقول عن المتغير العشوائي بأنه منفصل عندما يأخذ عدد كبير من القيم، قد تكون هذه القيم غير منتهية، ومن الممكن أن تكون منتهية، إلا أنها قابلة للعد.

- يأخذ المتغير العشوائي المنفصل قيم مختلفة عن بعضها البعض، ويرمز له في الحالة العامة Rx، والرمز x هنا يرمز إلى المتغير العشوائي، ويرمز لشكل مجموعة الاحتمالات تبعا للمتغير العشوائي المنفصل بالشكل التالي:

Rx = { X1, X2, X3,...Xn} أو من الشكل:

Rx = { X1, X2, X3,…Xi}

- بعض الأمثلة عن المتغير العشوائي المنفصل، ومن المهم ذكره أن المتغير المفصل غالبا ما يتم عده ولكن ليس بشكل دائم:

أ- في مدينة معينة نريد حساب عدد الأطفال في كل أسرة.

ب- في فريق معين نريد حساب عدد الأهداف التي قام بتسديدها أحد اللاعبين.

ج- في صيدلية معينة نريد حساب عدد الزبائن أو العملاء اللذين تلبي حاجاتهم هذه الصيدلية.

د- تريد حساب عدد الحيوانات الأليفة التي تقوم الأسر بتربيتها.

و- في إحدى المزارع نريد حساب عدد الأبقار التي يتم تربيتها.

ه- أحد المصانع ينتج مصابيح كهربائية نريد حساب عدد المصابيح التي يتم انتاجها خلال زمن معين.

2- النوع الثاني: المتغيرات العشوائية المتصلة (المستمرة):

- نقول عن المتغير العشوائي بأنه متغير متصل عندما يأخذ عدد لا منتهي من القيم، وتكون هذه القيم قابلة للعد أيضا، ويأخذ هذا النوع من المتغيرات الشكل التالي:

Rx ={ x:a <= x <=b ; a, b € R}

- تعبر التغيرات العشوائية المتصلة على كثافة الاحتمال في تجربة معينة، حيث تأخذ احتمال للفترات أيضا، حيث يجب أن يكون لأي نقطة مهما كانت صغيرة متغير عشوائي مستمر.

- بعض الأمثلة على المتغير العشوائي المتصل:

أ- في مدينة معينة نريد حساب معدل هطول الأمطار على مدار عام.

ب- في مدرسة معينة نردي حساب أوزان الطلاب.

ج- في طرق معينة نريد حساب سرعة المركبات والسيارات التي تعبر هذه الطرق.

د- نريد نقطة من محيط قرص دائري مركزه هو مبدأ الإحداثيات، ونصف قطره r .

و- في جامعة معينة نريد حساب أطوال الطلاب في تخصص جامعي معين.

 ما هو مفهوم التوزيعات الاحتمالية؟

- يرتبط مفهوم التوزيع الاحتمالي بمفهوم المتغير العشوائي، حيث يمكن للمتغيرات العشوائية أن تأخذ توزيعات احتمالية مختلفة، حيث يقوم التوزيع الاحتمالي بوصف الظواهر التي تحتوي متغيرات عشوائية.

 ما هي أنواع التوزيعات الاحتمالية؟

تتألف التوزيعات الاحتمالية من نوعين وهما:

أولا: التوزيع الاحتمالي المنفصل:

وللتوزيع الاحتمالي المنفصل عدة أنواع أيضا والتي هي:

1- توزيع برنولي: يستخدم هذا النوع من التوزيعات الاحتمالية في التجارب البسيطة التي تكون نتائجها من الممكن حدوثها.

وكمثال: التجارب التي تكون نتائجها 1أو 0، حيث يعبر 1 عن ظهور النتيجة ، بينما يعبر 0 عن عدم ظهورها.

أي مثل التجارب التي تكون نتائجها ناجح أو راسب، أو ظهور قطع معينة أو عدم ظهورها وهكذا.

2- التوزيع الثنائي: يكون التوزيع الثنائي لتجربة عشوائية ما عبارة عن احتمالين إما نجاح هذه التجربة أو فشلها، والمهم ذكره هنا أن تكرار التجربة لا يغير أبدا بنتيجتها في حال كانت ناجحة.

يتميز هذا النوع بعد خصائص والتي هي:

أ- يجب أن تخضع التجربة في التوزيع الثنائي لأكثر من محاولة.

ب- يجب أن تكون محاولات التجربة منفصلة ومستقلة عن بعضها البعض.

ج- يجب أن تكون المحاولة التي احتمالها ناجح ثابتة لا تتأثر بالتكرار.

د- محاولات التوزيع الثنائي متماثلة.

3- توزيع بواسون:

تم تسمية هذا التوزيع تبعا للعالم بواسون، وهو توزيع منفصل حيث يعبر عن احتمالية حدوث الأحداث خلال فترة معينة من الزمن إلا أنها غير متعلقة بزمن الحدث الأخير، أي تحدث ضمن معدل وسطي.

4- توزيع هندسي:

هو أحد التوزيعات المتعلقة التي تتعلق بتوزيع بيرنولي، حيث يعبر التوزيع الهندسي عن تكرار المحاولة حتى تحصل التجربة على نجاح واحد.

وأبرز مثال على هذا التوزيع رمي حجر النرد، حيث يعبر التوزيع الهندسي عن عدد المحاولات التي سنقوم بها حتى نحصل على قيمة محددة لحجر النرد.

5- توزيع منتظم:

يعرف هذا التوزيع بأنه التوزيع الذي يمكن أن يأخذ المتغير العشوائي الراجع له  قيم صحيحة خلال فترة مستمرة، بحيث تقسم الفترة إلى فترات متساوية، أي يأخذ المتغير أي قيمة لكن ضمن فترات جزئية متساوية.

ومن توزيعات الاحتمالية أيضا:

6- توزيع باسكال.

7- توزيع ثنائي سالب.

8- توزيع فوق هندسي.

ثانيا: التوزيع الاحتمالي المتصل:

ويتألف من عدة أنواع أيضا:

1- التوزيع الطبيعي:

يعتبر من التوزيعات الاحتمالية المستمرة الأكثر انتشارا والأكثر استخداما، نظرا لكونه يدرس الإحصاء الابتدائي، حيث يستخدم في المتغيرات العشوائية التي تدور حول قيمة وسطية محددة ووحيدة.

هناك عدة خصائص للتوزيع الطبيعي نذكر منها:

أ- القيم المكررة بكثرة غالبا ما تقع في مركز التوزيع.

ب- القيم المكررة بشكل أقل تقع بعيدة عن مركز التوزيع.

ج- في مركز التوزيع سنجد القيم التالية: المنوال، المتوسط، الوسيط.

د- نلاحظ تساوي مجموع تكرارات القيم التي هي أكبر من المتوسط مع مجموع تكرارات القيم التي تقع تحته.

2- توزيع مربع كاي الاحتمالي:

يعتمد هذا النوع من التوزيعات الإحصائية على برنامج التحليل الإحصائي من أجل تقدير القيمة الاحتمالية وذلك نظرا لصعوبة حسابها بشكل تقليدي ويدوي، حيث تعتمد القيمة الاحتمالية بشكل أساسي على القيمة الإحصائية التي يتم حسابها تبعا لمربع كاي.

ونذكر أيضا من أنواع التوزيعات الاحتمالية المستمرة:

3- توزيع كامل.

4- توزيع F .

5- توزيع ستيودنيت t الاحتمالي.

6- توزيع كوشي.

7- توزيع مربع كاي المعكوس.

ثالثا: دالة التوزيع التراكمي:

ويعرف هذا النوع من التوزيعات الاحتمالية بأن المتغير العشوائي هنا يأخذ قيمة معينة فرضا " D "أو يأخذ قيمة أقل من "  D".

 نستنتج مما سبق:

نلاحظ علاقة كل من المتغيرات العشوائية والتوزيعات الاحتمالية مع بعضها وأهمية التميز بين كل توزيع لكل متغير عشوائي، وكان لهذا العلم دور كبير في مجال الإحصاء أيضا.